이산 확률분포와 이산 확률분포의 평균, 분산, 표준편차

이산 확률분포란?

먼저 이산은 離(떠날 이) 散(흩을 산) 한자 단어이며 이는 떨어져 있는 확률변수 X라고 한다.

 

가령 주사위를 던졌을 때 나올 수 있는 눈은 몇개인가? 당연히 1, 2, 3, 4, 5, 6이며 각각 떨어져 있고 셀 수 있다.

떨어져 있다는 건 1과 2 사이에 0.5, 0.6 ··· 등 무수히 많은 수가 있으니 서로 떨어져 있다.

즉, 이산 확률분포의 변수는 떨어져 있으며 셀 수 있다는 것을 알 수 있다.

 

항상 이산 확률분포는 반드시 표로 표현해야 하며 예시를 들은 주사위 나올 확률을 표로 만들어본다.

이 표를 이산확률분포표라고 한다.

X	1	2	3	4	5	6	합계
P(X)	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1

 

이때 모든 확률을 합치면 반드시 1이 되어야 한다.

 

다른 예시를 들어보자

동전을 2번 던졌을 때 앞면이 나오는 횟수를 확률변수 X라고 치고 각 확률변수 X에 대한 확률 P(X)를 구하고 이산확률분포표를 만들어본다.

 

동전은 앞면과 뒷면으로 구성이 되어 있으며 2번 던졌을 때 나올 경우의 수는 앞앞, 뒤뒤, 앞뒤, 뒤앞 4가지로 구성되어 있다.

뒤뒤가 나오면 앞면은 0번, 앞뒤 / 뒤앞이 나오면 앞면은 1번, 앞앞이 나오면 앞면은 2번이 되니 확률변수 X는 0, 1, 2가 되며 각 확률변수를 확률 P(X)를 구하면 다음과 같다.

 

• 전체 경우의 수는 4이며 앞면이 0번 나오는 뒤뒤는 1가지 경우 = 1/4
• 전체 경우의 수는 4이며 앞면이 1번 나오는 앞뒤 / 뒤앞은 2가지 경우 = 2/4
• 전체 경우의 수는 4이며 앞면이 2번 나오는 앞앞는 1가지 경우 = 1/4

 

이렇게 될 것이며 이를 확률분포표로 만들면 아래 표처럼 된다.

X	0	1	2	합계
P(X)	1/4	2/4	1/4	1

 

이를 가지로 이산확률분포의 평균, 분산, 표준편차를 구할 수 있다.

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평균 E(X)

먼저 평균은 E(X)라고 부르며 공식은 확률변수 X와 확률변수에 대한 확률 P(X)를 곱하고 모두 더해주면 된다.

 

• 공식 : ∑X·P(X)
  • = 1·1/6  +  2·1/6  +  3·1/6  +  4·1/6  +  5·1/6  +  6·1/6
  • = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 21 / 6
  • = 7/2
  • = 3.5

분산 V(X)

분산 V(X)는 확률변수 제곱의 평균에 평균 제곱을 빼주면 된다. 주사위의 확률변수 제곱은 1, 4, 9, 16, 25, 36이다.

 

• 공식 : E(X²) - (E(X))²
  • = (1·1/6  +  4·1/6  +  9·1/6  +  16·1/6  +  25·1/6  +  36·1/6) - (7/2)²
  • = V(따로 구하지 않았음)

표준편차 σ(X)

표준편차는 앞에서 구한 분산에 루트만 씌우면 구해진다.

 

• 공식 : σ(X) = √V